Teorema de Laplace

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis.
Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.
O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.
Ilustração algébrica:

Vejamos um exemplo:
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:

Precisamos encontrar os valores dos cofatores:

 

Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:

 

Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma de suas filas, a utilização do teorema de Laplace se torna interessante, pois não será necessário calcular diversos cofatores.
Vejamos um exemplo deste fato:
Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace:

 

Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace.

 

Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22.

 

Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:

det B = (- 1) . (- 65) = 65

Cofator de uma Matriz

Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do teorema de Laplace, que é utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de qualquer ordem (ordem 1, 2, 3, …, n).
Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:
Considere que A seja uma matriz quadrada qualquer:
O cofator do elemento aij desta matriz A é obtido da seguinte forma:

Devemos compreender os elementos dessa expressão. O valor A_ij é justamente o cofator do elemento aij da matriz A, enquanto que D_ij será o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz A os elementos da linha i e da coluna j. Façamos um exemplo para melhor compreensão dessa expressão do cofator.
Exemplo: Determine os cofatores dos elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃ da matriz A.

O cofator do elemento a₁₁ será determinado pela seguinte expressão:

Portanto, devemos determinar o determinante da matriz D₁₁, matriz obtida retirando a 1ª linha e 1ª coluna da matriz A.

Com isso, podemos calcular o cofator A₁₁.

De maneira semelhante procederemos com os outros cofatores, veja:

Mesmo procedimento para o cofator A₃₃:

Os procedimentos são todos iguais, mudando apenas o expoente do termo (-1) e os determinantes de cada matriz Dij. Compreendendo esses cálculos, o cálculo de determinantes pelo teorema de Laplace se torna extremamente fácil.

Determinando Matriz de Odem 1, 2 e 3

Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n).
Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu valor numérico.
Os elementos de uma matriz podem ser colocados entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas; e os elementos dos determinantes são colocados entre duas barras.
Matriz de ordem 1
Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que essa matriz é de ordem 1. Veja alguns exemplos:
Se A = [10], então o seu determinante será representado assim: det A = |10| = 10
Se B = (-25), então o seu determinante será representado assim: det B = |-25| = -25
Podemos concluir que o determinante de ordem 1 terá o seu valor numérico sempre igual ao seu elemento..
Matriz de ordem 2
Dada a matriz A de ordem dois A =  , o seu determinante será calculado da seguinte forma:
O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.

O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.
det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7
Matriz de ordem 3
Dada a matriz de ordem 3, B = o valor numérico do seu determinante é calculado da seguinte forma:
Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e repetimos as duas primeiras colunas.
det B =
Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias.
det B =
Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.
Det B = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59
Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.

Matriz Inversa

Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes. Vejamos como ocorre este processo partindo da definição de uma matriz inversa.


Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = I_n e X.A = I_n (onde I_n é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A^(-1).

Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa.

Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela.

Exemplo:



A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder.

Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A.



Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos.



Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a matriz identidade .

Por fim, teremos a seguinte igualdade:



Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes para realizarmos estes cálculos.



Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.



Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas.

Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição.



Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a.



Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes valores para as incógnitas:



Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la:



Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz corresponde à matriz inversa:



De fato, a matriz obtida corresponde à matriz inversa, pois o produto das duas matrizes resultou na matriz identidade.
Como vimos, o estudo da matriz inversa abarca diversos conceitos da matemática, desde operações básicas até a resolução de sistemas com duas incógnitas.
Compreender todos estes conceitos é importante, pois ao resolver equações envolvendo matrizes será requerido tal aprendizado.

Propiedades da Multiplicação

Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números naturais ainda é um número natural. 
Associatividade: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. A propriedade de associatividade é satisfeita na multiplicação, pois:
por exemplo: 
3.5.2 =15.2 =30 
3.(5.2) =3.10 =30 
Observe que os resultados obtidos são iguais. Os parênteses indicam a multiplicação que deve ser feita primeiro. 
Existência de Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural. 
Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8 
Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a ordem dos fatores não altera o produto. 
Observe: 
7 x 5 = 35     5 x 7 = 35
4 x 5 = 20     5 x 4 = 20 
Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6.
Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n.
A_4x3 * B_3x1
A_4x2 * B_2x3
A_1x2 * B_2x2
A_3x4 * B_4x3
Nesse modelo de multiplicação, os métodos são mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes. Vamos através de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe um modelo padrão de multiplicação:

 
 
Exemplo 1



Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condição “o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz”, foi válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produto da multiplicação, é de ordem 2 x 2, isto é, 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.

Portanto, todas essas condições são observadas na multiplicação entre matrizes. Caso alguma dessas condições não seja válida, a operação da multiplicação estará efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar multiplicação entre matrizes, faça de forma atenciosa, desenvolvendo completamente o processo, procurando não utilizar meios diretos para obter o resultado.

Multiplicação de um Número Real por uma Matriz

Com as matrizes podemos desenvolver várias operações, como: adição e subtração entre matrizes, Potência de matrizes, multiplicação entre matrizes e multiplicação de matriz com número real.
A multiplicação de uma matriz por um número real funciona da seguinte forma: considerando uma matriz qualquer C de ordem mxn e um número real qualquer p.
Quando multiplicamos o número real p pela matriz C encontraremos como produto outra matriz p.C de ordem mxn e seus elementos é o produto de p por cada elemento de C.
Veja o exemplo: Dada a matriz C = e o número real p = 3. O produto p . C será:
p . C =

p . C =

p . C =

Veja o exemplo que trabalha tanto com a multiplicação de número real por matriz como adição e subtração de matrizes.
Exemplo: Dada as matrizes A = , B = , C = calcule:

3A + 2B – 5C



Portanto, 3A + 2B – 5C = .

Subtração de Matrizes

Propriedades de Adição de Matrizes

Peças de ferro que constituem uma matriz (3x2)

O estudo das matrizes deve ser considerado de grande importância, constituindo numa importante ferramenta da Matemática presente em áreas relacionadas aos cálculos, como a Engenharia, a Informática e outras. Nos estudos estatísticos, as matrizes constituem tabelas que objetivam por organizar os dados distribuídos por linhas e colunas.

Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias, podem ser adicionadas. Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, isto é, mesmo número de linhas e colunas, a soma entre elas constituirá em uma matriz C de mesma ordem das adicionadas. Os termos deverão ser somados de acordo com suas posições. Por exemplo, se somarmos duas matrizes de ordem 3x3, as adições dos elementos respeitarão a seguinte situação:

a₁₁ + b₁₁ = c₁₁
a₁₂ + b₁₂ = c₁₂
a₁₃ + b₁₃ = c₁₃
a₂₁ + b₂₁ = c₂₁
a₂₂ + b₂₂ = c₂₂
a₂₃ + b₂₃ = c₂₃
a₃₁ + b₃₁ = c₃₂
a₃₂ + b₃₂ = c₃₂
a₃₃ + b₃₃ = c₃₃ 

Observe:

Exemplo 1

Adicionar as matrizes A e B.

A + B = C ↔ a_ij + b_ij = c_ij 

A matriz se enquadra nas propriedades da adição, dada a matriz A, B, C e O, sendo O nula, vale as propriedades da:

Comutação: A + B = B + A
Associação: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + O = O + A = 0

Definição de Adição de Matrizes

Em matemática a adição de matrizes é uma operação que produz a soma de duas matrizes. Duas operações distintas são definidas como a soma de matrizes: a soma termo a termo e a soma direta.

Adição e Subtração de Matrizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada. 

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas. 

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b₁₂. 

►Adição 

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. 

Assim podemos concluir que: 

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁. 

Exemplos: 
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos: 

+ = 3 x 3 

Observe os elementos em destaques: 

a₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o 
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6 

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2 

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B. 

►Subtração 

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. 

Assim temos: 
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁. 

Exemplos: 

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3 

Observe os elementos destacados: 

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.