Propriedades de Adição de Matrizes

Peças de ferro que constituem uma matriz (3x2)

O estudo das matrizes deve ser considerado de grande importância, constituindo numa importante ferramenta da Matemática presente em áreas relacionadas aos cálculos, como a Engenharia, a Informática e outras. Nos estudos estatísticos, as matrizes constituem tabelas que objetivam por organizar os dados distribuídos por linhas e colunas.

Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias, podem ser adicionadas. Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, isto é, mesmo número de linhas e colunas, a soma entre elas constituirá em uma matriz C de mesma ordem das adicionadas. Os termos deverão ser somados de acordo com suas posições. Por exemplo, se somarmos duas matrizes de ordem 3x3, as adições dos elementos respeitarão a seguinte situação:

a₁₁ + b₁₁ = c₁₁
a₁₂ + b₁₂ = c₁₂
a₁₃ + b₁₃ = c₁₃
a₂₁ + b₂₁ = c₂₁
a₂₂ + b₂₂ = c₂₂
a₂₃ + b₂₃ = c₂₃
a₃₁ + b₃₁ = c₃₂
a₃₂ + b₃₂ = c₃₂
a₃₃ + b₃₃ = c₃₃ 

Observe:

Exemplo 1

Adicionar as matrizes A e B.

A + B = C ↔ a_ij + b_ij = c_ij 

A matriz se enquadra nas propriedades da adição, dada a matriz A, B, C e O, sendo O nula, vale as propriedades da:

Comutação: A + B = B + A
Associação: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + O = O + A = 0

Definição de Adição de Matrizes

Em matemática a adição de matrizes é uma operação que produz a soma de duas matrizes. Duas operações distintas são definidas como a soma de matrizes: a soma termo a termo e a soma direta.

Adição e Subtração de Matrizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada. 

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas. 

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b₁₂. 

►Adição 

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. 

Assim podemos concluir que: 

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁. 

Exemplos: 
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos: 

+ = 3 x 3 

Observe os elementos em destaques: 

a₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o 
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6 

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2 

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B. 

►Subtração 

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. 

Assim temos: 
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁. 

Exemplos: 

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3 

Observe os elementos destacados: 

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Matriz Antisímetrica

É a matriz oposta da simétrica, ou seja:  
Exemplos: 

Matriz Simétrica

 
Parafusos predispostos em forma de matriz

Para que possamos compreender a definição de uma matriz simétrica, é necessário compreendermos algumas notações usadas no estudo de matrizes.



Conhecendo estas notações, vejamos a definição para uma matriz simétrica. 

Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, que satisfaz:

A^t = A

Outra forma para enunciar esta definição é fazendo as igualdades dos elementos da matriz. Dizemos que uma matriz é simétrica quando,

Vejamos alguns exemplos de matrizes simétricas.

Vejamos um exemplo geral, com elementos quaisquer, simétricos.




Você parou para pensar por que uma matriz simétrica é uma matriz quadrada? Façamos a seguinte reflexão: o que devemos fazer para obter a matriz transposta de uma determinada matriz? 

Devemos inverter as linhas com as colunas, ou seja, uma matriz: 



Veja que trocamos a quantidade de linhas pela quantidade de colunas. Para que uma matriz seja simétrica devemos ter a igualdade desta matriz com a sua transposta.



Isto só será possível caso, m = n, e quando isso ocorre dizemos que a matriz é quadrada.

Matriz Oposta

Se a soma entre duas matrizes resultar em uma matriz nula, temos que as matrizes são opostas. Uma matriz é oposta à outra quando observamos simetria entre seus elementos. Veja: 

A matriz oposta de e a matriz de  . Se realizarmos a soma entre essas duas matrizes, constituímos uma matriz conhecida como nula.

Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz qualquer é dada pela troca entre os elementos da linha e os elementos da coluna. Portanto, se temos uma matriz A, dada por m x n, temos que a transposta de A será dada por n x m. Veja:

Representamos uma matriz transposta por: A^t. 

Matriz Diagonal

Para que uma matriz tenha diagonal ela deverá ser uma matriz quadrada, então uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos que não pertencem à diagonal principal são obrigatoriamente iguais a zero. 



Portanto, podemos definir matriz diagonal como: Dado uma matriz C = (aij) _{n x n} com 
n ≥ 2é chamada de matriz diagonal se, somente se, i ≠ j for igual a zero. 

Observação: 
Isso não impede de os elementos que pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Ou seja, uma matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero é uma matriz diagonal. 

Matriz Identidade

A matriz identidade ou chamada também de matriz unidade é uma matriz quadrada de ordem n sendo que n ≥ 2, onde os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 

Essa matriz possui uma representação, sempre que for indicar uma matriz identidade pode-se escrever In. 

Por exemplo: 

Uma matriz identidade de ordem 2, será sempre escrita da seguinte forma: 


Uma matriz identidade de ordem 3, será sempre escrita da seguinte forma: 


Uma matriz identidade de ordem 4, será sempre representada da seguinte forma: 


Observando os exemplos acima de matriz identidade percebemos que para a construção de todas elas não foi preciso utilizar uma regra, é preciso apenas ter o conhecimento de qual é a sua ordem. 

Matriz Nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: 



Podendo ser representada por 0_{3 x 2}. 

Matriz Quadrada

Matriz quadrada é um tipo especial de matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. Ou seja, dada uma matriz A n x m será uma matriz quadrada se, somente se, n = m. 
Por exemplo: 

B = (5) _1x1 

A matriz B possui apenas um elemento e é uma matriz quadrada, pois o mesmo número de linha é o mesmo número de colunas, podendo ser chamada de matriz de ordem 1. 



A matriz A é uma matriz quadrada, pois o número de linha é igual a 4 e o número de colunas também é igual a 4, podendo ser chamada de matriz de ordem quatro. Se fosse uma matriz B_3x3 poderia ser chamada de matriz de ordem 3. 

Toda matriz quadrada possui duas diagonais: Diagonal Principal e Diagonal Secundária. 



a₁₁ = 12, a₂₂ = 6, a₃₃ = 0 e a₄₄ = 7, formam a diagonal principal. 
a₁₄ = 6, a₂₃= 20, a₃₂ = -4 e a₄₁ = -1, formam a diagonal secundária. 

Podemos concluir que uma matriz quadrada pode ser definida por: 

Numa matriz quadrada de C de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. 

Veja o exemplo abaixo de uma matriz que mostra que a definição acima é verdadeira. 

Dada uma matriz A qualquer de ordem 2: 



A definição diz que os elementos da diagonal principal têm i = j, observando o exemplo percebemos que os elementos a₁₁ e a₂₂ que pertencem à diagonal principal realmente tem i = j. 
A definição também conclui que a diagonal secundária é formada por i + j = n + 1, observando o exemplo percebemos que os elementos a12 e a21 que pertencem à diagonal secundária seguem a mesma regra: a₁₂ = 1 + 2 = 2 + 1 e a₂₁ = 2 + 1 = 2 + 1.

Matrizes Especiais

Conforme algumas características apresentadas por algumas matrizes elas recebem nomes especiais, são elas: * Matriz Quadrada; * Matriz Nula; * Matriz Identidade; * Matriz Diagonal; * Matriz Transposta;* Matriz Oposta; * Matriz Simétrica e * Matriz Antissimétrica.
A seguir veremos essas matrizes em particulares.   

Igualdade de matrizes

Considere as matrizes A e B:

Tomando-se matrizes de um mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes.

Como as matrizes A e B são do mesmo tipo(3 X 2) seus elementos correspondentes são:

-50 e -50            11 e 11

63 e 63               -7 e -7

8 e 8                   -10 e 10

Duas matrizes, A e B, de mesmo tipo são matrizes iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais.